调和函数
2025-12-02 22:52:53Euclid 空间中的调和函数（harmonic function）是一类性质很好的函数，它是 Laplace 方程的解，“调和”一词有着各变元地位平等之意。
目录
1 概念
2 平均值定理
3 最大模原理
4 光滑性与导数估计
5 其它性质
5.1 梯度内估计
5.2 Liouville 定理
5.3 Harnack 不等式
5.4 Hopf 极大值原理
5.5 Caccioppoli 不等式
5.6 Weyl 定理
6 几个不等式
7 参考资料
概念[]
设
U
⊂
R
n
{\displaystyle U \subset \R^n}
是有界开区域，
u
:
U
→
R
{\displaystyle u: U \to \R}
是给定的二阶连续可微函数，在边界
∂
U
{\displaystyle \partial U}
上连续，满足如下 Laplace 方程
Δ
u
:=
∑
i
=
1
n
∂
2
u
∂
x
i
2
=
0
,
x
∈
U
.
{\displaystyle \Delta u := \sum_{i=1}^n \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} = 0, \quad x \in U.}
我们就说
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
在
U
{\displaystyle U}
上调和。
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常数函数
u
(
x
)
≡
1
{\displaystyle u(x) \equiv 1}
和线性函数
u
(
x
)
=
α
⋅
x
,
α
∈
R
n
{\displaystyle u(x) = \alpha \cdot x, \alpha \in \R^n}
是平凡的调和函数。
在二维情形下，解析函数的实部和虚部都是调和函数。
平均值定理[]
平均值定理是调和函数的一个基本定理。它可以导出很多其他调和函数的良好性质。
设
u
∈
C
2
(
U
)
{\displaystyle u \in C^2(U)}
是调和函数，那么对任意的开球
B
(
x
,
r
)
⊂
U
{\displaystyle B(x, r) \subset U}
（这里开球不能到达
U
{\displaystyle U}
的 边界，否则以下性质不一定成立），都有
u
(
x
)
=
∫
∂
B
(
x
,
r
)
−
u
(
y
)
d
σ
=
∫
B
(
x
,
r
)
−
u
(
y
)
d
y
.
{\displaystyle u(x)
= {\int_{\partial B(x, r)}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! {}\boldsymbol{-}{}} \qquad u(y) \mathrm{d}\sigma
= {\int_{B(x, r)}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\; {}\boldsymbol{-}{}} \qquad u(y) \mathrm{d}y.}
这里积分符号上加一横表示积分平均值。
如上定理的逆：假设
u
∈
C
2
(
U
)
{\displaystyle u \in C^2(U)}
对任意的开球
B
(
x
,
r
)
⊂
U
{\displaystyle B(x, r) \subset U}
满足
u
(
x
)
=
∫
∂
B
(
x
,
r
)
−
u
(
y
)
d
σ
,
{\displaystyle u(x) = {\int_{\partial B(x, r)}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! {}\boldsymbol{-}{}} \qquad u(y) \mathrm{d}\sigma,}
那么
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
是调和的。
平均值定理的两个形式之间是等价的，这不仅对调和函数成立，而且对函数
u
{\displaystyle u}
的条件减弱为
C
1
{\displaystyle C^1}
后仍然成立，而这样就可以推出
u
∈
C
2
{\displaystyle u \in C^2}
，这是一个很漂亮的结论。
最大模原理[]
假设开区域
U
{\displaystyle U}
上的调和函数
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
连续到边界，那么
u
{\displaystyle u}
在
U
{\displaystyle U}
内部的最大最小值在边界
∂
U
{\displaystyle \partial U}
上取得，且进一步，如果
U
{\displaystyle U}
是单连通的，函数
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
在
U
{\displaystyle U}
的内部达到最值
u
(
x
0
)
{\displaystyle u(x_0)}
，那么
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
在
U
{\displaystyle U}
内部为常函数。
光滑性与导数估计[]
U
{\displaystyle U}
上的调和函数是无穷可微的，且偏导数有估计式：
|
D
α
u
(
x
0
)
|
⩽
C
k
r
n
+
k
‖
u
‖
L
1
(
B
(
x
0
,
r
)
)
,
∀
B
(
x
0
,
r
)
⊂
U
.
{\displaystyle |D^\alpha u(x_0)| \leqslant \dfrac{C_k}{r^{n+k}} \| u \|_{L^1 (B(x_0,r))}, \forall B(x_0, r) \subset U.}
这里
D
α
u
(
x
)
{\displaystyle D^\alpha u(x)}
是借助多重指标定义的混合偏导数，
|
α
|
=
k
{\displaystyle |\alpha| = k}
，常数
C
0
=
1
α
(
n
)
,
C
k
=
(
2
n
+
1
n
k
)
k
α
(
n
)
,
α
(
n
)
=
m
(
B
(
0
,
1
)
)
=
π
n
2
Γ
(
n
2
+
1
)
.
{\displaystyle C_0 = \dfrac{1}{\alpha(n)}, \quad C_k = \dfrac{(2^{n+1}nk)^k}{\alpha(n)}, \quad \alpha(n) = m(B(0, 1)) = \dfrac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma\! \left( \frac{n}{2}+1 \right)}.}
进一步可以证明，调和函数还是实解析函数，即它在每一有限点处的泰勒级数都收敛到该函数。
其它性质[]
梯度内估计[]
假设调和函数
u
in
B
(
0
,
2
r
)
{\displaystyle u \text{in} B(0, 2r)}
，那么有如下的局部估计
sup
x
∈
B
(
x
0
,
r
)
|
D
u
|
⩽
c
r
sup
x
∈
B
(
x
0
,
2
r
)
|
u
|
.
{\displaystyle \sup_{x \in B(x_0, r)} |Du| \leqslant \dfrac{c}{r} \sup_{x \in B(x_0, 2r)} |u|.}
其中
c
{\displaystyle c}
只和维数有关。
假设调和函数
u
≠
0
in
B
(
x
0
,
r
)
{\displaystyle u \ne 0 \text{in} B(x_0, r)}
，那么还有如下更细致的局部估计
sup
x
∈
B
(
x
0
,
r
)
|
D
u
|
|
u
|
⩽
c
r
.
{\displaystyle \sup_{x \in B(x_0, r)} \dfrac{|Du|}{|u|} \leqslant \dfrac{c}{r}.}
其中
c
{\displaystyle c}
只和维数有关。用他也可以很简单地推出 Harnack 不等式。
Liouville 定理[]
假设
u
(
x
)
:
R
n
→
R
{\displaystyle u(x): \R^n \to \R}
是有界调和函数，则
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
恒为常数。
Harnack 不等式[]
假设
V
⊂
U
{\displaystyle V \subset U}
是取定的一个连通开集，且在
U
{\displaystyle U}
中是紧集，那么存在一个正常数
C
{\displaystyle C}
只和
V
{\displaystyle V}
有关，使得对任意在
U
{\displaystyle U}
中非负调和的函数
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
成立不等式
sup
x
∈
V
u
(
x
)
⩽
C
inf
x
∈
V
u
(
x
)
.
{\displaystyle \sup_{x \in V} u(x) \leqslant C \inf_{x \in V} u(x).}
这表明调和函数可以用下确界一致的控制上确界，而对一般的函数则不成立。
Hopf 极大值原理[]
假设
u
{\displaystyle u}
是
B
(
0
,
r
)
¯
⊂
R
n
{\displaystyle \overline{B(0, r)} \subset \R^n}
上的调和函数，且
x
0
∈
∂
B
(
0
,
r
)
{\displaystyle x_0 \in \partial B(0, r)}
是一个严格极大值点，那么有
∂
u
∂
n
(
x
0
)
=
k
r
(
u
(
x
0
)
−
u
(
0
)
)
.
{\displaystyle \dfrac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}(x_0) = \dfrac{k}{r}(u(x_0) - u(0)).}
其中
k
{\displaystyle k}
是只与维数有关的正常数。
Caccioppoli 不等式[]
假设
u
{\displaystyle u}
在有界开区域
U
⊂
R
n
{\displaystyle U \subset \R^n}
上调和，那么对任意的函数
η
∈
C
0
1
(
U
)
{\displaystyle \eta \in C_0^1(U)}
都有
∫
U
η
2
|
D
u
|
2
d
x
⩽
4
∫
U
|
D
η
|
2
u
2
d
x
.
{\displaystyle \int_U \eta^2 |Du|^2 \mathrm{d}x \leqslant 4 \int_U |D\eta|^2 u^2 \mathrm{d}x.}
进一步假设
u
{\displaystyle u}
在有界开区域
U
⊂
R
n
{\displaystyle U \subset \R^n}
上调和，那么有
‖
D
u
‖
L
2
(
B
(
x
0
,
r
)
)
⩽
2
R
−
r
‖
u
‖
L
2
(
B
(
x
0
,
R
)
)
.
{\displaystyle \| Du \|_{L^2(B(x_0, r))} \leqslant \dfrac{2}{R-r} \| u \|_{L^2(B(x_0, R))}.}
可以将
u
{\displaystyle u}
是调和函数的条件减弱为
u
Δ
u
⩾
0
{\displaystyle u \Delta u \geqslant 0}
或二阶椭圆方程的次弱解。
Weyl 定理[]
假设有有界开区域
U
⊂
R
n
{\displaystyle U \subset \R^n}
，一个函数
u
∈
C
2
(
U
)
{\displaystyle u \in C^2(U)}
是调和函数当且仅当对任意的
v
∈
C
0
2
(
U
)
{\displaystyle v \in C_0^2(U)}
都成立
∫
U
u
Δ
v
d
x
=
0.
{\displaystyle \int_U u \Delta v \mathrm{d}x = 0.}
几个不等式[]
以下均假设函数
u
{\displaystyle u}
在积分区域的闭包上是调和函数。
函数的
L
2
{\displaystyle L^2}
范数增长下界：
∫
B
(
x
0
,
2
r
)
u
2
⩾
(
1
+
c
(
n
)
)
∫
B
(
x
0
,
r
)
u
2
.
{\displaystyle \int_{B(x_0, 2r)} u^2 \geqslant (1+c(n)) \int_{B(x_0, r)} u^2.}
函数梯度的
L
2
{\displaystyle L^2}
范数增长下界：
∫
B
(
x
0
,
2
r
)
|
D
u
|
2
⩾
(
1
+
d
(
n
)
)
∫
B
(
x
0
,
r
)
|
D
u
|
2
.
{\displaystyle \int_{B(x_0, 2r)} |Du|^2 \geqslant (1+d(n)) \int_{B(x_0, r)} |Du|^2.}
sup
B
(
x
,
r
)
u
2
⩽
2
n
m
(
B
(
x
,
2
r
)
)
∫
B
(
x
,
2
r
)
u
2
.
{\displaystyle \sup_{B(x, r)} u^2 \leqslant \dfrac{2^n}{m(B(x, 2r))} \int_{B(x, 2r)} u^2.}
∫
B
(
x
,
r
)
u
2
⩽
c
1
(
r
s
)
n
∫
B
(
x
,
s
)
u
2
.
{\displaystyle \int_{B(x, r)} u^2 \leqslant c_1 \left( \dfrac{r}{s} \right)^n \int_{B(x, s)} u^2.}
∫
B
(
x
,
r
)
|
D
u
|
2
⩽
c
2
(
r
s
)
n
∫
B
(
x
,
s
)
|
D
u
|
2
.
{\displaystyle \int_{B(x, r)} |Du|^2 \leqslant c_2 \left( \dfrac{r}{s} \right)^n \int_{B(x, s)} |Du|^2.}
∫
B
(
x
,
r
)
|
u
−
(
u
)
x
,
r
|
2
⩽
c
3
(
r
s
)
n
+
2
∫
B
(
x
,
s
)
|
u
−
(
u
)
x
,
s
|
2
.
{\displaystyle \int_{B(x, r)} |u-(u)_{x,r}|^2 \leqslant c_3 \left( \dfrac{r}{s} \right)^{n+2} \int_{B(x, s)} |u-(u)_{x,s}|^2.}
∫
B
(
x
,
r
)
|
D
u
−
(
D
u
)
x
,
r
|
2
⩽
c
4
(
r
s
)
n
+
2
∫
B
(
x
,
s
)
|
D
u
−
(
D
u
)
x
,
s
|
2
.
{\displaystyle \int_{B(x, r)} |Du-(Du)_{x,r}|^2 \leqslant c_4 \left( \dfrac{r}{s} \right)^{n+2} \int_{B(x, s)} |Du-(Du)_{x,s}|^2.}
其中
c
,
d
,
c
i
{\displaystyle c, d, c_i}
都是正常数，
(
f
)
x
,
r
{\displaystyle (f)_{x, r}}
是
f
{\displaystyle f}
在
B
(
x
,
r
)
{\displaystyle B(x,r)}
上取积分平均。
参考资料Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations(2nd Ed.), GTM Vol.19, American Mathematical Society, 2010-03, ISBN 978-0-8218-4974-3.
椭圆型偏微分方程（学科代码：1104710，GB/T 13745—2009）
调和函数
Laplace 方程（调和函数、平均值公式、最大模原理、Liouville 定理、Harnack 不等式） ▪ Poisson 方程（平均值公式、最大模原理、Green 函数） ▪ Weyl 定理 ▪ 次调和函数
二阶椭圆方程古典理论
二阶椭圆方程 ▪ Caccioppoli 不等式 ▪ Hopf 极大值原理
二阶椭圆方程正则性理论
弱解
所在位置：数学（110）→ 偏微分方程（11047）→ 椭圆型偏微分方程（1104710）
乌拉圭世界杯名单